Založit webové stránky nebo eShop

Trojúhelník

Trojúhelník ABC definujeme jako průnik tří polorovin. Přitom body  A, B, C neleží na jedné přímce. Symbolicky zapisujeme ABC.

Body  A, B, C  jsou vrcholy trojúhelníka; a, b, c  jsou jeho strany. Symboly α, β, γ značíme vnitřní úhly a symboly α', β', γ' vnější úhly trojúhelníka. Součet velikostí vnitřních úhlů je roven 180°.

DĚLENÍ TROJÚHELNÍKŮ

Podle délek stran rozlišujeme trojúhelníky

  • různostranné - žádné dvě strany nejsou shodné
  • rovnoramenné - právě dvě strany jsou shodné
  • rovnostranné - všechny strany jsou shodné

Podle velikostí vnitřních úhlů rozlišujeme trojúhelníky

  • ostroúhlé - mají všechny úhly ostré
  • tupoúhlé - mají jeden tupý úhel
  • pravoúhlé - mají jeden úhel pravý

TROJÚHELNÍKOVÁ NEROVNOST

 

Abychom mohli ∆ ABC sestrojit, musí platit tzv. trojúhelníková nerovnost: c < a + b, b < a + c, a < b + c, tedy součet délek každých dvou stran trojúhelníku je větší než délka třetí strany. Při upravení první a druhé nerovnosti dostáváme b - c < a,

c - b < a, a to můžeme zapsat jedinou nerovností |b - c| < a. Z této získané nerovnosti a třetí nerovnosti pak dostáváme |b - c| < a < b + c.

Proto tedy úsečky délek a, b, c jsou stranami ∆ ABC právě tehdy, když platí: |b - c| < a < b + c.

 

STŘEDNÍ PŘÍČKA

 

Střední příčka je úsečka spojující středy dvou stran. Má také následují vlastnosti. Je rovnoběžná se stranou trojúhelníku, jejíž střed nespojuje a má poloviční velikost než je tato strana. Že tomu tak skutečně je, si ukážeme v části o podobnosti trojúhelníků.

VÝŠKA

 

Patou kolmice nazýváme bod, který je průnikem strany trojúhelníku a přímky procházející protějším vrcholem trojúhelníku, kolmo na tuto stranu.

Výška je úsečka v trojúhelníku, jejímiž krajními body jsou vrchol trojúhelníku a pata kolmice.

Všechny výšky se protínají v jednom bodě. Tento bod nazýváme ortocentrum nebo průsečík výšek.

Důkaz tvrzení, že se výšky protínají v jednom bodě, si ukážeme v kapitolce Kružnice opsaná a vepsaná.

 

Ortocentrum ostroúhlého trojúhelníku leží uvnitř, tupoúhlého trojúhelníku leží vně a v pravoúhlém trojúhelníku ortocentrum splývá s vrcholem při pravém úhlu.

Toto tvrzení můžeme názorně předvést pomocí programu GeoGebra, kde zvět\-šo\-vá\-ním a zmenšováním libovolného úhlu vidíme, jak se nám posunuje poloha ortocentra. http://konstrukce.wbs.cz/ortocentrum.html

 

TĚŽNICE

 

Podobně jako výškami se nyní budeme zabývat těžnicemi v trojúhelníku. Těžnice je úsečka v trojúhelníku, která spojuje střed strany s protilehlým vrcholem.

 

Mezi důležité vlastnosti těžnic patří následující dvě tvrzení:

  • Všechny těžnice se protínají v jednom bodě, tento bod nazýváme těžiště troj\-ú\-hel\-ní\-ku.
  • Těžiště trojúhelníku dělí každou z těžnic v poměru 2:1, přičemž delší úsek leží blíže příslušnému vrcholu trojúhelníku.

Důkazy těchto dvou tvrzení se nejlépe dokazují pomocí stejnolehlosti, a proto je vhodné je zařadit právě při probírání stejnolehlosti.

 

Nechť se těžnice ta a tb protínají v bodě T. Stejnolehlost se středem T zobrazí bod A na bod A1 a bod B na bod B1. Koeficient stejnolehlosti je -½, protože A1B1 je střední příčka trojúhelníku ABC (|A1B1|=|AB|, A1B1||AB a bod A1 leží na opačné polopřímce než TA). V téže stejnolehlosti je obrazem přímky AC přímka s ní rovnoběžná a procházející bodem A1, tedy A1C1. Podobně to platí i pro přímku BC, a proto obrazem bodu C v této stejnolehlosti je bod C1, tedy i tc prochází bodem T. Z koeficientu stejnolehlosti vyplývá, že těžiště trojúhelníku dělí každou z těžnic v poměru 2:1.

 

KRUŽNICE OPSANÁ A VEPSANÁ

 

Než přistoupíme k vlastním konstrukčním úlohám, připomeneme si také kružnici opsanou a vepsanou ABC.

 

Kružnice opsaná trojúhelníku je taková kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku.

Kružnice vepsaná trojúhelníku je taková kružnice, která se dotýká všech stran trojúhelníku.

Jak najdeme středy těchto kružnic, popisují následující dvě věty uváděné i s důkazem.

 

Osy stran trojúhelníku procházejí jedním bodem. Tento bod je středem kružnice opsané trojúhelníku. Osy vnitřních úhlů trojúhelníku procházejí jedním bodem. Tento bod je středem kružnice vepsané trojúhelníku.

 

Nechť S je průsečík os oa a ob. Protože bod S leží na ose oa, platí |BS| = |CS|. Podobně také, protože bod S leží na ob, platí |AS| = |CS|. Z toho proto plyne, že |AS| = |BS|, a tedy bod S leží také na oc.

 

Nechť O je průcečík oα a oβ. Protože bod O leží na oα, platí |OT1| = |OT3|. Podobně také, protože bod O leží na oβ, platí |OT1| = |OT2|. Z toho plyne, že |OT2| = |OT3|, a tedy bod O leží také na oγ.

Následuje důkaz, že se výšky protínají v jednom bodě. K němu využijeme právě dokázané tvrzení, že se osy stran trojúhelníku protínají v jednom bodě.

 

Vrcholy trojúhelníku ABC veďme přímky rovnoběžné s protějšími stranami. Průsečíky těchto přímek označme postupně A', B', C'. A nyní dokážeme, že body A, B, C jsou postupně středy stran B'C', C'A', A'B'. Důkaz provedeme pro vrchol A, další by se prováděly analogicky. Čtyřúhelníky ABCB' a AC'BC jsou rovnoběžníky, takže platí |AB'|=|BC| a |C'A|=|BC|. Odtud plyne |AB'|=|C'A|. Výšky ABC jsou však osami stran A'B'C' a ty se protínají v jednom bodě.


Délkou osy úhlu budeme rozumět velikost úsečky, jejímiž krajními body jsou vrchol trojúhelníku a průsečík osy úhlu s protější stranou.

SHODNOST A PODOBNOST

 

První kapitolu uzavřeme větami o shodnosti a podobnosti trojúhelníků. Závěrem si uvedeme slíbený důkaz o středních příčkách.

 

Trojúhelník ABC je shodný s trojúhelníkem A'B'C' právě tehdy, když jeden trojúhelník lze přemístit tak, aby oba splynuly. V praxi shodnost ověřujeme pomocí následujících vět:

  • Dva trojúhelníky shodující se ve všech třech stranách jsou shodné. (Věta sss).
  • Dva trojúhelníky shodující se ve dvou stranách a úhlu jimi sevřeném jsou shodné. (Věta sus).
  • Dva trojúhelníky shodující se v jedné straně a úhlech této straně přilehlých jsou shodné. (Věta usu).
  • Dva trojúhelníky shodující se ve dvou stranách a úhlu naproti větší z nich jsou shodné. (Věta Ssu).

Trojúhelník ABC je podobný trojúhelníku A'B'C', jestliže existuje kladné reálné číslo k tak, že platí:

|AB| = k|A'B'| a |BC| = k∙|B'C'| a |CA| = k|C'A'|

A obdobně jako u shodnosti platí následující věty:

  • Dva trojúhelníky shodující se ve dvou úhlech jsou podobné. (Věta uu).
  • Dva trojúhelníky shodující se v jednom úhlu a v poměru stran přilehlých tomuto úhlu jsou podobné. (Věta sus).
  • Dva trojúhelníky shodující se v poměrech dvou stran a ve velikosti úhlu proti větší z nich jsou podobné. (Věta Ssu).

Důkaz vlastností středních příček.

 

Trojúhelník ABC je podobný trojúhelníku B1A1C podle věty sus. Pro strany platí:|B1C| = ½ |AC| a |A1C| = ½ |BC|, proto taky |B1A1| = ½ |AB|. Protože BAC a A1B1C jsou shodné, platí AB || B1A1.

TOPlist